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  1. 1. 摄像机模型
  2. 2. 参考资料

前面的文章介绍了面阵相机标定的模型。这里介绍下线阵相机标定的模型,以及求解该模型碰到的问题。在工业应用中,线阵相机具有高分辨率,测量精度好,抗干扰性强的优点,已经得到越来越广的应用。

摄像机模型

线阵相机将3维空间投影到1D直线,必须与被拍摄物体之间有相对移动才能够拍摄得到一幅有用的图像。这里只考虑摄像机相对于目标物体匀速直线运动,并且采集所有图像过程中摄像机状态相同。假设摄像机固定,物体的运动向量$-V = -(v_x, v_y, v_z)$。




线阵摄像机拍摄原理.

以摄像机的主点作为原点,z轴与光轴一致,并且使目标物体的z坐标为正。设置y轴的方向使得$v_y$为正,x轴垂直于y,z轴形成的平面。在采图的过程中,摄像机坐标系相对于物体发生移动,也就是说拍摄每行的摄像机位置都不同。这就意味着每行都对应一个不同的位姿。我们可以利用摄像机的运动是线性的这个条件,只要知道拍摄第一行的图像时摄像机坐标系之间的变换关系,随后各行都可以通过运动向量求得。

接下来,我们考虑3维空间到2维图像上的变换关系。
由于物体相对摄像机移动,我们考虑$t=0$的时刻,即图像开始采集第一行。将物体的世界坐标转换到摄像机坐标系当中:
$$
\begin{pmatrix} x_c \\ y_c \\ z_c \\ \end{pmatrix} =
\left[
\begin{array}{c|c}
R & T
\end{array}
\right]
\begin{pmatrix} X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \\ \end{pmatrix}
\tag{1}
$$

接下来考虑将$P_c = (x_c, y_c, z_c)$映射到图像坐标系上,在摄像机坐标系中,我们再考虑运动向量$V$。

对于一维的情况,$t=0$时,点$(x_c, y_c, z_c)$映射到图像上$(u, 0)$位置。在x轴方向上,针孔摄像机的模型依然适用,$u = f_x\frac{x}{z} + c_x$,这里$f_x = fs_x$,$f$为焦距,$s_x$为缩放因子,将世界单位转化为像素单位。用矩阵形式表示为:
$$
\begin{pmatrix} wu \\ w \\ \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} f_x & c_x \\ 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_c \\ z_c \\ \end{pmatrix}
\tag{2}
$$

对任意$t$时刻的目标坐标为$P_c(t)=(x_c(t), y_c(t), z_c(t))$,该点的投影关系可以表达为:
$$
\begin{pmatrix} wu \\ v \\ w \\ \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & s_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_c(t) \\ y_c(t) \\ z_c(t) \\ \end{pmatrix}
\tag{3}
$$
其中,$s_y$为y轴方向缩放因子,将世界坐标转化为像素坐标,$s_y$的值不能被标定,只能设置为线阵图像传感器垂直方向上单位长度的像素个数。$c_y$为y方向上可能存在的偏移。

考虑点$P_c(t)$, 速度设定为$-V$,因此:
$$P_c(t) = P_c - tV = (x_c, y_c, z_c)^T - t(v_x, v_y, v_z)$$
写成矩阵形式有:
$$
\begin{pmatrix} x_c(t) \\ y_c(t) \\ z_c(t) \\ \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} 1 & -v_x/v_y & 0 \\ 0 & 1/v_y & 0 \\ 0 & -v_z/v_y & 1 \\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_c \\ y_c \\ z_c \\ \end{pmatrix}
\tag{4}
$$

合并上述(1),(3),(4):
$$
\begin{pmatrix} wu \\ v \\ w \\ \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} f_x & 0 & c_x \\ 0 & s_y & c_y \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & -v_x/v_y & 0 \\ 0 & 1/v_y & 0 \\ 0 & -v_z/v_y & 1 \\ \end{pmatrix}
\left[
\begin{array}{c|c}
R & T
\end{array}
\right]
\begin{pmatrix} X_w \\ Y_w \\ Z_w \\ 1 \\ \end{pmatrix}
\\= M(x, y, z, 1)^T
\tag{5}
$$

式子(7)和面阵相机标定的式子:$(wu, wv, w)^T = M(x, y, z, 1)^T$,最大的差别在于$v$前面的系数$w$没有了,$M$不再是一个单应矩阵。线阵相机采图可以看成在x方向上透视投影,在y方向上正交投影。

参考资料

[1]Gupta, Rajiv, and Richard I. Hartley. “Linear pushbroom cameras.” IEEE transactions on pattern analysis and machine intelligence 19.9 (1997): 963-975.

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